(http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/ParabolaDirectrix_1000.gif)
Una parí¡bola (plural "parí¡bolas";. Gray 1997, p 45) es el conjunto de todos los puntos en el plano equidistante de una determinada línea de
L (La secciín cínica directriz ) y un punto dado
F no en la línea (el foco ). El parí¡metro focal (es decir, la distancia entre la directriz y el foco) viene dado por
p = 2 a , Donde
a es la distancia desde el vírtice a la directriz o foco. La superficie de revoluciín obtenida por rotaciín de una parí¡bola alrededor de su eje de simetría se llama un paraboloide.
(http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/ParabolaFocus_500.gif)
La parí¡bola fue estudiado por Menecmo en un intento de lograr la duplicaciín del cubo.
Menecmo resolvií el problema mediante la bísqueda de la intersecciín de las dos parí¡bolas
x2 = y y
y2= 2x . Euclides escribií acerca de la parí¡bola, y se le dio su actual nombre de Apolonio. Pascal considerí la parí¡bola como una proyecciín de un círculo , y Galileo mostraron que los proyectiles que caen bajo la gravedad uniforme de seguir caminos parabílicos. Gregory y Newton considera los catací¡ustica propiedades de una parí¡bola que traen los rayos de luz paralelos a un foco (MacTutor Archivo), como se ilustra arriba.
Para una parí¡bola que abre hacia la derecha con vírtice en (0, 0), la ecuaciín en coordenadas cartesianas es
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/NumberedEquation1.gif)
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/NumberedEquation2.gif)
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/NumberedEquation3.gif)
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/NumberedEquation4.gif)
La cantidad (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline7.gif) es conocido como el lado recto. Si el vírtice estí¡ en (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline8.gif) en lugar de (0, 0), la ecuaciín de la parí¡bola es
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/NumberedEquation5.gif)
Si en lugar de la parí¡bola se abre hacia arriba, su ecuaciín es
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/NumberedEquation6.gif)
(http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/Parabola3Points_1000.gif)
Tres puntos determinan de forma ínica una parí¡bola con directriz paralela a la
x Ejes y una con paralelo a la directriz
y Eje. Si estas parí¡bolas pasar a travís de los tres puntos (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline11.gif), (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline12.gif), Y (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline13.gif), Estí¡n dadas por las ecuaciones
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/NumberedEquation7.gif)
y
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/NumberedEquation8.gif)
(http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/ParabolaPolar_1001.gif)
En coordenadas polares , la ecuaciín de una parí¡bola con el parí¡metro y el centro (0, 0) viene dada por
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/NumberedEquation9.gif)
(Figura de la izquierda). La equivalencia con la forma cartesiana puede verse mediante la creaciín de un sistema de coordenadas (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline15.gif) y enchufar (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline16.gif) y (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline17.gif) para obtener
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/NumberedEquation10.gif)
La ampliaciín y la recolecciín de tírminos,
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/NumberedEquation11.gif)
así resolviendo para (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline18.gif) da (â—‡). Un conjunto de parí¡bolas confocales se muestra en la figura a la derecha.
En las coordenadas del pedal con el punto de pedal en el foco , la ecuaciín es
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/NumberedEquation12.gif)
La parí¡bola puede ser escrito como paramítricamente
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline21.gif)
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline23.gif)
o
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline26.gif)
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline29.gif)
Un segmento de una parí¡bola es una curva de Lissajous.
(http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/ParabolaEnvelope_950.gif)
Una parí¡bola puede ser generada como la envolvente de dos segmentos de línea concurrentes mediante la conexiín de puntos opuestos sobre las dos líneas (Wells 1991).
(http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/ParabolaTangents_1000.gif)
En la figura anterior, las líneas (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline31.gif), (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline32.gif) y (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline33.gif) son tangentes a la parí¡bola en puntos
A,
B y
0 Respectivamente. Entonces (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline37.gif) (Wells 1991). Ademí¡s, el círculo circunscrito de (http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline38.gif) pasa a travís del foco
F (Honsberger 1995, p. 47). Ademí¡s, el pie de la perpendicular a una tangente a una parí¡bola de la atenciín siempre se encuentra en la tangente en el vírtice (Honsberger 1995, pí¡g. 48).
(http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/ParabolaTangentLines_1000.gif)
Dado un punto arbitrario
P encuentra "fuera" una parí¡bola, la tangente o tangentes a la parí¡bola a travís
P puede ser construido mediante la elaboraciín del círculo que tiene
P F como un dií¡metro , donde
F es el foco . A continuaciín, busque los puntos
A y
B en la que el círculo corta la tangente vertical a travís
V. Los puntos
Ta y
Tb (Que se puede contraer a un punto ínico en el caso degenerado) son entonces los puntos de tangencia de las líneas
P A y
P B y la parí¡bola (Wells 1991).
La curvatura , la longitud del arco , y el í¡ngulo tangencial son
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline53.gif)
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline56.gif)
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline59.gif)
El vector tangente de la parí¡bola es
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline62.gif)
(http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Parabola/Inline65.gif)
Las parcelas a continuaciín muestran los vectores normales y tangentes a una parí¡bola.
(http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/ParabolaNormalTangent_1000.gif)
FUENTE: http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html (http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html)